E. Vargas,

“The Pennes bioheat equation with Caputo fractional derivative applied

to the thermal treatment of ductal breast cancer”,

Latin-American Journal of Computing (LAJC), vol. 13, no. 1, 2026.

The Pennes bioheat

equation with Caputo

fractional derivative

applied to the thermal

treatment of ductal

breast cancer

ARTICLE HISTORY

Received 18 July 2025

Accepted 12 November 2025

Published 6 January 2026

Eder Linares Vargas

Universidad del Atlántico

Facultad de Educación: Licenciatura en Matemática y Ciencias

Naturales

Barranquilla Colombia

ederlinares@mail.uniatlantico.edu.co

ORCID: 0000-0002-4697-5773

ISSN:1390-9266 e-ISSN:1390-9134 LAJC 2026

This work is licensed under a Creative Commons

Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

ISSN:1390-9266 e-ISSN:1390-9134 LAJC 2026 55

DOI:

LATIN-AMERICAN JOURNAL OF COMPUTING (LAJC), Vol XIII, Issue 1, January 2026

https://doi.org/10.33333/lajc.vol13n1.05

LATIN-AMERICAN JOURNAL OF COMPUTING (LAJC), Vol XIII, Issue 1, January - June 2026

La ecuación bio-calor de Pennes con derivada

fraccionaria de Caputo aplicada al tratamiento

térmico del cáncer ductal de mama

The Pennes bioheat equation with Caputo

fractional derivative applied to the thermal

treatment of ductal breast cancer

Eder Linares Vargas

Universidad del Atlántico

Facultad de Educación: Licenciatura

en Matemática y Ciencias Naturales

Barranquilla Colombia

ederlinares@mail.uniatlantico.edu.co

Resumen — Este artículo examina la ecuación bio-calor de

Pennes tanto en su forma clásica como en su extensión mediante la

derivada fraccionaria de Caputo para modelar el calentamiento

tumoral mediante hipertermia magnética con SPIONs. En el modelo

clásico (α = 1.0), las simulaciones alcanzan y mantienen

temperaturas superiores a 42 °C, en concordancia con los resultados

clínicos y experimentales de Caizer et al., donde las nanopartículas

elevan y estabilizan el tejido dentro del rango terapéutico. Al

incorporar la derivada fraccionaria (α < 1.0), emergen efectos de

memoria térmica que permiten una descripción más realista de la

dinámica del tejido. Aunque el método L1 explícito presenta

inestabilidad numérica, el método L1 implícito proporciona

soluciones estables y físicamente coherentes, mostrando un

calentamiento más lento y localizado para órdenes fraccionarios,

como se espera en tejidos con difusión retardada. Estos resultados

fraccionarios corresponden computacionalmente a las simulaciones

tridimensionales de Rahpeima & Lin, quienes reportan patrones de

temperatura no monótonos y una difusión dependiente de la

concentración de SPIONs. En conjunto, el método L1 implícito

valida tanto el comportamiento experimental observado por Caizer

como la dinámica numérica reportada por Rahpeima & Lin,

demostrando que el enfoque fraccionario es prometedor para

modelar la hipertermia tumoral cuando se emplean esquemas

numéricos estables.

Palabras clave — Ecuación de Pennes, Hipertermia magnética,

Derivada fraccionaria de Caputo, Nanopartículas

superparamagnéticas (SPIONs)

Abstract—This article examines the Pennes bioheat equation in

both its classical form and its extension using the Caputo fractional

derivative to model tumor heating through magnetic hyperthermia

with SPIONs. In the classical model (α = 1.0), simulations reach and

maintain temperatures above 42 °C, consistent with the clinical and

experimental results of Caizer et al., where nanoparticles raise and

stabilize tissue within the therapeutic range. When incorporating the

fractional derivative (α < 1.0), thermal memory effects emerge,

allowing a more realistic description of tissue dynamics. Although

the explicit L1 method exhibits numerical instability, the implicit L1

method provides stable and physically coherent solutions, showing

slower and more localized heating for fractional orders, as expected

in tissues with delayed diffusion. These fractional results

computationally correspond to the three-dimensional simulations of

Rahpeima & Lin, which report non-monotonic temperature patterns

and diffusion dependent on SPION concentration. Overall, the

implicit L1 method validates both the experimental behavior

observed by Caizer and the numerical dynamics reported by

Rahpeima & Lin, demonstrating that the fractional approach is

promising for modeling tumor hyperthermia when stable numerical

schemes are employed.

Keywords— Penne’s equation, Magnetic hyperthermia,

Caputo fractional derivative and Superparamagnetic

nanoparticles (SPIONs)

I. INTRODUCCIÓN

El cáncer de mama constituye uno de los mayores desafíos

para la salud pública, tanto a nivel mundial como en

Colombia. Cada año se reportan más de un millón de casos

nuevos en el planeta, lo que lo convierte en la neoplasia

maligna más común entre las mujeres. En el país, su

incidencia ha venido aumentando de manera constante,

situación vinculada a elementos como el incremento de la

esperanza de vida, la alta exposición a diversos factores de

riesgo y las brechas en el acceso a servicios de detección

temprana.

La evidencia científica señala que esta enfermedad se

presenta con mayor frecuencia en mujeres entre los 40 y 60

años, aunque puede manifestarse en cualquier momento de la

vida. Particularmente, se ha establecido una correlación

significativa entre ciertas características clínicas y la

probabilidad de recurrencia del carcinoma ductal no

metastásico. Tal como lo evidencian [1], este hallazgo

refuerza la necesidad de implementar enfoques terapéuticos

individualizados que consideren la variabilidad biológica y

clínica de cada paciente.

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E. Vargas

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Latin-American Journal of Computing (LAJC), vol. 13, no. 1, 2026.

En la actualidad, el cáncer de mama es la primera causa de

muerte por cáncer en las mujeres en Colombia, con una tasa

de mortalidad que equivale a cerca del 15 % de los decesos

por enfermedades oncológicas en mujeres mayores de 20

años. Aunque la incidencia nacional aún no alcanza los niveles

reportados en países desarrollados —donde una de cada diez

mujeres será diagnosticada con esta enfermedad a lo largo de

su vida—, el crecimiento sostenido de casos, especialmente en

zonas urbanas, evidencia una tendencia preocupante que pone

de manifiesto el impacto clínico y social de esta patología [2].

Por otro lado, un gran número de pacientes que se han

sometido a cirugías radicales, como la mastectomía, corren

riesgos considerables de complicaciones postoperatorias.

Según [3] dentro de estas se incluye la linfedema, algunas

infecciones, dolor intenso o crónico y limitaciones funcionales

de los miembros superiores. Estas consecuencias afectan la

calidad de vida de las pacientes, lo que evidencia la

importancia de mejorar los enfoques terapéuticos y de

impulsar tratamientos menos invasivos y con efectos

secundarios reducidos.

En regiones con sistemas de salud más consolidados,

como Europa Occidental, la implementación sistemática de

programas de tamizaje mediante mamografía ha permitido

diagnósticos más tempranos, lo cual se traduce en mejores

tasas de sobrevida. En Colombia, pese a los esfuerzos por

aumentar la disponibilidad de esta herramienta diagnóstica,

continúan existiendo barreras significativas de acceso,

especialmente en zonas rurales y en regiones con escasa oferta

de servicios de salud, lo que reduce su efectividad en la

detección temprana y el control de la enfermedad [4].

Paralelamente, el uso terapéutico del calor en el

tratamiento del cáncer mediante nanopartículas

superparamagnéticas de óxido de hierro (SPIONs), como

Fe₃O₄ o γ-Fe₂O₃ recubiertas con materiales biocompatibles

(dextrano, PEG o sílice), ha cobrado gran relevancia en

oncología. Estas nanopartículas, aprovechando el efecto EPR

(Enhanced Permeability and Retention), son capaces de

acumularse selectivamente en tejidos tumorales, permitiendo

una liberación localizada de calor cuando son activadas por

campos magnéticos alternos [5].

Este enfoque emergente fue impulsado por los estudios de

[6], quienes evidenciaron los beneficios clínicos de la

hipertermia en oncología, aunque también señalaron las

limitaciones de métodos tradicionales como la diatermia en

presencia de inflamación ganglionar, por el riesgo de

hiperemia, obstrucción venosa y necrosis tisular. En respuesta

a estas limitaciones, [7] propusieron el uso de nanopartículas

magnéticas como una fuente de calor controlada,

promoviendo así un abordaje más preciso y seguro para el

tratamiento de tumores y metástasis [8].

II. MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Y PERSPECTIVA

FRACCIONARIA

El creciente interés científico por la hipertermia magnética

ha dado lugar a múltiples investigaciones in vitro e in vivo,

acompañadas del desarrollo de modelos matemáticos que

permitan predecir con precisión la distribución térmica en los

tejidos afectados. Entre estos, el modelo más ampliamente

utilizado está la ecuación bio-calor propuesta por [9] La cual,

debido a su simple formulación —lo que la hace atractiva y

correlaciona muy bien con datos experimentales—, ha sido

adoptada como base para numerosas simulaciones térmicas en

tejidos biológicos. Sin embargo, cuando se aplica este modelo

al contexto clínico del cáncer ductal mamario, emergen

importantes limitaciones. La ecuación de Pennes clásica

asume un comportamiento térmico lineal, local y sin memoria,

lo cual no refleja adecuadamente la naturaleza dinámica y

estructuralmente heterogénea del tejido tumoral mamario,

especialmente bajo exposiciones térmicas repetidas o

moduladas. Esta falta de representación histórica en la

conducción térmica es particularmente crítica en entornos

biológicos donde la respuesta al calor puede presentar retardos

o acoplamientos espacio-temporales no triviales.

Ante esta problemática, en el presente trabajo se explora

la formulación fraccionaria de la ecuación de Pennes,

incorporando derivadas de Caputo. Esta extensión permite

capturar efectos de memoria térmica y modelar de forma más

realista la evolución de temperatura en tejidos tumorales. El

enfoque fraccionario no solo mejora la fidelidad de las

simulaciones térmicas, sino que también abre nuevas

posibilidades para el diseño personalizado de tratamientos

basados en hipertermia magnética, tal como lo sugieren

estudios recientes como los de [10].

III. MATERIALES Y MÉTODOS

Se inicia con la solución numérica de la ecuación de bio-

calor propuesta por Pennes, se construyen los códigos en

Python y se analizan las gráficas obtenidas. Seguidamente se

resuelve numéricamente la ecuación de Pennes, pero esta vez

desde la perspectiva del cálculo fraccionario propuesto por

[11], se analizan las gráficas derivadas de los algoritmos en

Python y se discuten los resultados contrastándolos con los

obtenidos en el modelo de Pennes.

IV. ECUACIÓN DE BIO-CALOR DE PENNES

La ecuación de bio-calor de Pennes, formulada, describe

cómo se distribuye y transfiere el calor en los tejidos

biológicos humanos. Es ampliamente utilizada en estudios de

termoterapia, hipertermia para tratamiento del cáncer,

crioterapia y simulaciones médicas.

V. FORMULACIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DE

PENNES

( ) ( )

b b b b m ext

c k T cw T T Q Q



=  + − + +



, donde



es la densidad del tejido medido en (Kg/m3)

es el calor especifico del tejido J/ (Kg k)

es la temperatura del tejido (°C o K)

es la conductividad térmica del tejido (W/ mk)



es la densidad de la sangre (Kg/m3)

calor especifico de la sangre J/ (Kg k)

es la tasa de perfusión sanguínea (1/seg)

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temperatura de la sangre arterial (°C o K)

es la tasa de generación metabólica de calor (W/m3)

ext

son las fuentes externas de calor (W/m3)

Pennes propone una EDP, no lineal en ocasiones,

parabólica y homogénea, con la que describe el efecto de la

temperatura en tejidos biológicos. Es decir, mediante un

enfoque matemático que integra diversos mecanismos de

transferencia de calor. La ecuación, en su lado izquierdo

representa la tasa de energía interna del tejido. El primer

término del lado derecho modela la conducción térmica

interna, reflejando la difusión del calor dentro del tejido

debido a diferencias de temperatura. El segundo término

introduce el efecto de la perfusión sanguínea, donde la sangre

actúa como un vehículo de transporte térmico, intercambiando

calor entre los vasos sanguíneos y el tejido circundante. El

tercer término considera el calor generado por el metabolismo

celular, una fuente constante en tejidos vivos. Finalmente, el

cuarto término permite incorporar fuentes de calor externas,

como las generadas por nanopartículas magnéticas en

tratamientos de hipertermia, lo cual resulta especialmente

relevante en el contexto del cáncer ductal de seno.

La ecuación de bio-calor de Pennes ha convertido en una

herramienta muy versátil en el campo de la bioingeniería,

debido a sus múltiples aplicaciones en oncología, ingeniería

de tejidos y tecnologías biomédicas. En el ámbito clínico, se

utiliza ampliamente para simular tratamientos por

hipertermia, permitiendo calcular con precisión cómo se eleva

la temperatura en un tumor durante la exposición a

microondas, ultrasonido o campos magnéticos, mejorando así

la efectividad terapéutica. Asimismo, esta ecuación es

fundamental para modelar procedimientos de crioterapia

localizada, donde se analiza la propagación del frío al aplicar

agentes como nitrógeno líquido sobre tejidos afectados. En el

diseño de implantes térmicamente activos o inteligentes,

permite predecir cómo estos dispositivos alteran el entorno

térmico del tejido que los rodea. También se aplica en la

simulación de quemaduras, ayudando a comprender la

propagación del calor en lesiones de primer y segundo grado.

Finalmente, en medicina deportiva, la ecuación de Pennes

facilita el estudio de la temperatura muscular durante el

ejercicio, considerando el efecto de la perfusión sanguínea, lo

cual es útil para crear planes de entrenamiento personalizado.

VI. ECUACIÓN DE PENNES INTRODUCIENDO LA

HIPERTERMIA MAGNÉTICA

La hipertermia magnética es una técnica terapéutica

empleada en oncología que se basa en elevar la temperatura

de los tejidos tumorales mediante el uso de nanopartículas

magnéticas (como los óxidos de hierro) previamente

incorporadas en el tumor. Estas partículas se excitan mediante

un campo magnético alterno, generando calor de forma

localizada. Para este caso, la ecuación de Pennes se reescribe

de esta forma:

( ) ( )

b b b b m mag

c k T cw T T Q Q



=  + − + +



donde

mag

representa el calor generado por las

nanopartículas. El calor generado por las NPs, se puede

modelar a través de la ecuación

,, 2

0mag

Q Hf



donde



es la permeabilidad magnética del vacío



parte imaginaria de la susceptibilidad magnética

amplitud del campo magnético aplicado

frecuencia del campo magnético

En general, el valor de

mag

depende del tipo de

nanopartícula, la concentración y la frecuencia del campo.

TABLE I. PARÁMETROS TÍPICOS EN TERAPIAS DE

HIPERTERMIA MAGNÉTICA

Parámetro

Valor típico /

Rango estimado

Notas técnicas

Tamaño de partícula

10 – 50 nm

Influye en el super

paramagnetismo [12-

13]

Densidad del material

~5200 kg/m³

(Fe₃O₄)

Determina la cantidad

de masa inyectada [14]

Calor específico c

670 J/(kg·K)

Valor específico para

Fe₃O₄.

Japan Atomic

Energy Agency. (s. f.).

Thermodynamic data

Fe₃O₄

Conductividad térmica

~6 W/(m·K)

Superior a la del tejido

humano (~0.5 W/m·K)

[15]

SAR (Specific

Absorption Rate)

10 – 500 W/g

Depende del campo

magnético, tamaño,

recubrimiento, etc

[13;16]

Campo magnético

aplicado H

10 – 30 kA/m

Típico en terapias

clínicas [17]

Frecuencia del campo

100 – 500 kHz

Regulado por

normativas de

seguridad [17;18])

Concentración en

tumor

1 – 10 mg/mL

Varía según método de

admi

nistración y

acumulación [16]

A. Calor generado: SAR y Qmag

mag

Q SAR C= 

donde C representa la concentración

de SPIONs en el tejido (g/m3)

mag

es expresado en W/m3, lo cual es compatible con la

ecuación de Pennes

Por ejemplo, con un SAR = 200 W/g y una concentración

C= 5mg/ml = 5x103 g/m3, como

mag

Q SAR C= 

entonces

200 5000 1 10

mag

==

. Esto genera un

calor altamente focalizado, que es capaz de aumentar la

temperatura del tumor a 42-45°C, ideal para destruir las

células cancerígenas sin destruir el tejido sano

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VII. SIMULACIÓN DEL CALENTAMIENTO TUMORAL

MEDIANTE LA ECUACIÓN DE PENNES

En el contexto clínico, el carcinoma ductal invasivo es un

tipo común de cáncer localizado en la región mamaria. Para

su tratamiento, se utiliza una técnica de hipertermia magnética

basada en la inyección de nanopartículas súper

paramagnéticas (SPIONs). Estas partículas se concentran en

el tumor y, al aplicar un campo magnético variable, generan

calor de forma localizada. El objetivo terapéutico es aumentar

la temperatura del tejido tumoral entre 42 y 45 °C. Esta

elevación térmica debe mantenerse durante un periodo de 30

a 60 minutos para inducir daño celular selectivo. El modelo

que describe este proceso utiliza la ecuación bio-calor de

Pennes. Esto permite simular y hasta optimizar la distribución

térmica en el tejido afectado.

Partiendo de la ecuación:

( ) ( )

b b b b m mag

c k T cw T T Q Q



=  + − + +



, teniendo en cuenta la Tabla 2.

TABLE II. VALORES REFERENCIALES PARA TEJIDO

MAMARIO Y TUMOR

Parámetro

Tumor ductal (valor estimado)

Unidad

1050

kg/m³.

3600

J/(kg·K)

0.5

W/(m·K)

ρb

1060

kg/m³

3770

J/(kg·K)

ωb

0.002

1/s

°C

10,000

W/m³

Qmag

1 × 10⁶ (SAR × concentración)

W/m³

Suponemos un modelo esférico de tumor con las

siguientes características:

• Radio del tumor: R=1cm

• Dominio en 3D o radial simétrico

• Condiciones de contorno: temperatura fija en el

exterior del tejido sano (T = 37 °C)

A. Objetivo del modelo

• Determinar el perfil térmico en el tumor.

• Comprobar si se alcanza y mantiene una temperatura

terapéutica.

• Analizar el efecto de la perfusión sobre la disipación

térmica.

• Estudiar el efecto de usar la derivada fraccionaria de

Caputo en la Ecuación de Pennes

VIII. DIFERENCIAS FINITAS ESPACIALES

Se utilizan aproximaciones por diferencias finitas

centradas para calcular el laplaciano (es decir, la difusión del

calor). Esto se hace con mallas uniformes (espaciado

constante) sobre el dominio.

i ii

T T TT

+−

 −+





, una vez discretizado el

espacio, la ecuación de Pennes se transforma en un sistema de

EDOs. Luego, estas se resuelven mediante Runge-Kutta. A

continuación, se muestran las gráficas derivadas de los

algoritmos hechos en Python.

Fig. 1. Variación de la temperatura a lo largo del radio del tumor mamario

después de 600 segundos (10 minutos) de tratamiento con hipertermia

magnética.

Se observa, en la Figura 1, un gradiente térmico desde el

centro hacia la periferia: la temperatura es más alta en la zona

central del tumor y disminuye conforme se aproxima al tejido

sano, donde se mantiene constante a 37 °C debido a la

condición de frontera. Esta distribución es consecuencia del

calentamiento interno generado por las nanopartículas

magnéticas, así como del balance térmico con el entorno y la

perfusión sanguínea. La línea roja discontinua representa el

umbral terapéutico de 42 °C, temperatura mínima requerida

para inducir daño térmico en células tumorales. Gran parte

del tejido tumoral, específicamente en su núcleo, se supera

dicho umbral, lo que es un claro indicio de que el modelo

simulado es ideal para lograr el efecto terapéutico esperado.

Sin embargo, en regiones cercanas al borde (más allá de 8–

9 mm), la temperatura desciende por debajo del umbral, lo

que sugiere que la hipertermia podría no ser completamente

uniforme sin ajustes en el diseño del tratamiento.

Fig. 2. Variación de la temperatura a lo largo del tiempo en el centro del

tumor (r ≈ 0 mm) durante los 10 minutos de la simulación.

La Figura 2, desde una temperatura inicial de 37 °C, se

observa un incremento progresivo debido al efecto

acumulativo del calor generado por el campo magnético

sobre las nanopartículas. En los primeros 200–300 segundos,

el aumento es más pronunciado, seguido por una

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estabilización cerca de 44 °C, lo que indica un nuevo

equilibrio térmico entre generación, conducción, y disipación

de calor. El hecho de que la temperatura en el centro del

tumor supere y mantenga un nivel superior al umbral

terapéutico de 42 °C durante varios minutos es clínicamente

relevante, debido a que este es el rango térmico esperado que

permite la necrosis selectiva del tejido tumoral, logrando no

afectar significativamente el tejido sano circundante. Este

comportamiento refleja que el modelo es funcional para

predecir la respuesta térmica en hipertermia, permitiendo

simular distintos escenarios antes de la aplicación clínica real.

Fig. 3. Biodistribución de temperatura en un tejido mediante el modelo bio-

térmico de Pennes, que considera conducción, perfusión sanguínea y

generación de calor; además de las temperaturas entre 37.00 °C y

37.10 °C, las cuales son clínicamente coherentes.

La Figura 3 sugiere una fuente de calor suave y controlada.

En cuanto a la distribución térmica, el máximo de

temperatura se encuentra en el centro del dominio, como se

esperaba debido a la fuente térmica gaussiana localizada ahí.

Los bordes se mantienen en 37 °C, gracias a las condiciones

de frontera fijas correctamente implementadas. La forma

circular simétrica del gradiente térmico demuestra que la

simulación es estable y físicamente realista. En cuanto al

rango, este va de 0 a 10 mm en ambos ejes y representa un

área de tejido de 1 cm², que es adecuado para simulaciones

locales de hipertermia, láser terapéutico o ablación térmica.

Fig. 4. Distribución térmica centrada y clínicamente significativa.

En la Figura 4 se observan contornos isotérmicos que

delimitan regiones fisiológicamente relevantes: temperaturas

superiores a 38 °C asociadas a activación metabólica, zonas

de 39–40 °C vinculadas a vasodilatación y sensibilización

celular, y una región interna que supera los 41–42 °C,

indicativa de una hipertermia terapéutica efectiva. El

gradiente de temperatura es simétrico y suave, lo que

confirma que el calor concentró en la zona central de la

imagen con un patrón de disipación bien controlado. Esta

imagen muestra una zona de tratamiento térmico altamente

focalizado, donde se evidencia un núcleo sobrecalentado que

está rodeado por anillos concéntricos donde se refleja una

menor temperatura. La escala de color y los contornos

permiten interpretar fácilmente la eficacia del calentamiento,

mostrando que se ha alcanzado el rango térmico adecuado

para inducción de necrosis celular selectiva. En conjunto, esta

visualización constituye una representación gráfica precisa,

robusta y clínicamente aplicable de un escenario de

hipertermia oncológica localizada [19].

Fig. 5. Mapa de daño térmico acumulado (Ω ≥ 1= necrosis), lo que indica

una simulación de la extensión del daño tisular causado por la

exposición al calor.

En esta representación bidimensional de 10 mm×10 mm

(Figura 5), los colores varían desde el negro (menor daño)

hasta el amarillo brillante (mayor daño). La barra de color a

la derecha, titulada "log10(Ω) (Daño térmico acumulado)",

muestra que los valores van desde −3.8 hasta −2.2. Un valor

de Ω≥1 se asocia con necrosis, lo que implica que las zonas

con los valores de log10(Ω) más altos (más cercanos a cero o

positivos, aunque en este gráfico solo se muestran valores

negativos) representan las áreas donde el daño es suficiente

para causar la muerte celular. Se observa una concentración

de daño severo en el centro del mapa (amarillo/naranja

brillante), que disminuye a medida que uno se aleja del punto

central. Este patrón es consistente con una aplicación de calor

localizada, y sugiere que el objetivo de la terapia de

hipertermia, que es inducir daño térmico en una región

específica, se está logrando.

Es menester aclarar que Ω, representa la integral de daño

térmico. Esta integral se fundamenta en la cinética de

Arrhenius, la cual explica cómo la temperatura influye en la

velocidad de una reacción química, en este caso, la

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desnaturalización de proteínas y la muerte celular. En

esencia, la integral de daño Ω representa la probabilidad

acumulada de daño irreversible en el tejido.

()

tRT

t Ae d







−



=



donde Ω(t) representa el daño en el tumor en un tiempo t. El

parámetro A es el factor de frecuencia, el cual es constante y

depende del tipo de tejido. E corresponde a la energía de

activación, es decir, la cantidad mínima de energía requerida

para que se produzca la desnaturalización de proteínas o el

daño celular, y es propia de cada tipo de tejido. R representa

la constante de los gases ideales. T(τ) es la temperatura

absoluta del tejido (expresada en Kelvin) en el instante τ. Esta

ecuación muestra el daño acumulado en un tejido en función

exponencial de la temperatura y función lineal del tiempo. Es

decir, para pequeños aumentos en la temperatura, se induce

un aumento drástico en la tasa de daño, y una exposición

prolongada a una temperatura específica también aumenta el

daño acumulado.

Fig. 6. Corte transversal del tejido simulado y daño térmico acumulado

En la Figura 6, la imagen izquierda representa un corte

transversal del tejido simulado (en el plano z = 5 mm) al

finalizar 30 minutos de exposición térmica, y muestra la

distribución de temperaturas alcanzadas. En ella, los colores

más claros muestran zonas donde la temperatura es mayor,

alcanzando hasta 42 °C en el centro, mientras que los bordes

permanecen cercanos a los 37 °C (temperatura corporal). Se

incluyen contornos que marcan los umbrales terapéuticos:

41.5 °C (azul claro), asociado a hipertermia útil en

tratamientos oncológicos, y 42.0 °C (en verde lima),

vinculado a daño térmico más severo. La figura permite

identificar las regiones más calientes, esenciales para

planificar terapias como la ablación térmica mediante

SPIONs, con láser o radiofrecuencia.

En la Figura 6, la imagen de la derecha refleja el daño térmico

acumulado en el mismo corte transversal, mediante el modelo

de Arrhenius, el cual se expresa como log₁₀(Ω), donde Ω es

un indicador del daño celular. Una zona alcanza necrosis

irreversible cuando Ω ≥ 1 (log₁₀(Ω) = 0), lo que permite

diferenciar entre daño parcial y completo. Las zonas claras

indican mayor daño térmico, mientras que las oscuras reflejan

tejido no afectado. Esta imagen es crucial para validar si el

tratamiento fue suficiente, estimar el margen de ablación y

evaluar riesgos a tejidos circundantes. Ambas imágenes se

complementan: la primera muestra las temperaturas

alcanzadas y la segunda el efecto biológico acumulado,

recordando que una alta temperatura durante poco tiempo

puede no ser suficiente para inducir daño térmico permanente

IX. CÁLCULO FRACCIONARIO EN LA ECUACIÓN DE

PENNES

Integrar cálculo fraccionario en la ecuación de Pennes es

una estrategia poderosa para modelar procesos térmicos

anómalos, como los que pueden ocurrir en tejidos biológicos

heterogéneos como un tumor ductal mamario. Para tratar de

modelar el transporte térmico en un carcinoma ductal

mamario, la derivada fraccionaria de Caputo es ideal, ya que

permite incorporar memoria térmica, que es relevante en

tejidos con respuesta retardada al calor. Además, es

compatible con condiciones iniciales clásicas como:

( ) ( )

( ,0) ( )

b b b b m mag

c k T cw T T Q Q

Tx T x



 

=  + − + +  



Si Modelo Clásico de Pennes

Si Modelo con efecto memoria



= →

→

X. MÉTODOS NUMÉRICOS EN PENNES CON CAPUTO

A. Método L1 Explícito

L1 en la ecuación de Caputo puede representar un

coeficiente de diferencias finitas, usado en la aproximación

numérica de la derivada fraccionaria.

( ) ( )

111

(2 )

njj

Tnj nj







−−−

−

 − −−

 − 



Fig. 7. Distribución de la temperatura dentro del tumor al finalizar los 600

segundos de simulación para diferentes órdenes fraccionarios α.

En la Figura 7 se observa que cuanto mayor es el valor de α,

más alta es la temperatura alcanzada en el centro del tumor,

y más uniforme es la distribución térmica. En particular, para

α=1.0, correspondiente al modelo clásico de Pennes, se logra

alcanzar exactamente los 42 °C necesarios para un

tratamiento térmico efectivo (umbral terapéutico). En

cambio, para valores fraccionarios menores de α, el calor no

se propaga tan eficientemente hacia los bordes del tumor, lo

que refleja el comportamiento de memoria y retardo

característico de los modelos fraccionarios.

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Fig. 8. Evolución temporal de la temperatura justo en el centro del tumor

(r=0) para cada valor de α.

Se aprecia que todos los casos parten desde la temperatura

basal de 37 °C, y conforme pasa el tiempo, la temperatura se

incrementa gradualmente. Cuanto mayor es el valor de α, más

rápida y eficaz es la acumulación de calor. La evolución

térmica es más lenta en los modelos fraccionarios (α<1), lo

cual pone de manifiesto cómo la dinámica de transferencia

térmica se ve afectada por el orden de la derivada de Caputo.

Evidentemente, el modelo clásico con α=1.0 alcanza los

42 °C necesarios para obtener la hipertermia terapéutica. A

continuación, se presenta una tabla que recoge el análisis para

cada valor de α.

TABLE III. ANÁLISIS PARA CADA VALOR DE Α AL CABO DE

10 MINUTOS DE SIMULACIÓN TÉRMICA

Temp.

Máx

(°C)

Temp. en

el centro

(°C)

Temp. en el

borde (°C)

Temp. Mín

(°C)

0.6

40.00

38.10

0.7

40.50

38.29

0.8

41.00

38.47

0.9

41.50

38.66

1.0

42.00

38.84

Sólo para α=1.0 se alcanzó el umbral terapéutico (42°C)

en el centro del tumor.

La introducción de la derivada fraccionaria de Caputo se

debe a la limitación del modelo clásico de Pennes, que asume

una respuesta térmica instantánea y sin memoria. La derivada

de Caputo, al incorporar la historia térmica del tejido

(memoria), busca ofrecer una representación más realista de

la transferencia de calor en tejidos biológicos complejos y

heterogéneos, como los tumores. Esto es clave cuando se

pretende estudiar el efecto de usar las derivadas fraccionarias.

El desafío inmediato al introducir la derivada fraccionaria

con el método L1 explícito es la inestabilidad numérica severa

observada en las gráficas de evolución térmica para α<1.0. Las

soluciones se disparan a valores irrealistas después de un corto

periodo de tiempo. Esto no permite completamente cumplir

con los objetivos de determinar los perfiles térmicos que son

estables, ni comprobar el mantener la temperatura terapéutica,

o analizar cómo se disipa el calor en el contexto del cálculo

fraccionario [20].

Se observa una similitud en el patrón de inestabilidad para

todos los valores de α<1.0, donde la inestabilidad se retrasa

ligeramente a medida que α se acerca a 1.0. Esto sugiere que

el problema de estabilidad es inherente al esquema explícito

para derivadas fraccionarias y no a un valor particular de α.

En los primeros instantes de la simulación, antes de que

aparezca la inestabilidad, las curvas de Caputo y la de Pennes

clásica muestran una tendencia similar de aumento de

temperatura desde el valor inicial. Ambas predicen que la

temperatura terapéutica de 42∘C puede ser alcanzada en el

centro del tumor.

Las diferencias cruciales que la derivada de Caputo debe

introducir, tales como una respuesta más lenta o amortiguada

debido a la memoria, son afectadas por la inestabilidad. Sin

embargo, si el método fuera estable, se esperaría que los

perfiles y la evolución temporal de Caputo difieran de los

clásicos, reflejando una dinámica de calor más compleja y

potencialmente más precisa para tejidos con propiedades

viscoelásticas.

La inestabilidad de los métodos explícitos para las EDPs

fraccionarias subraya la necesidad crítica de emplear métodos

numéricos implícitos (como el Método L1 Implícito y

predictor corrector) para obtener soluciones estables y

físicamente significativas. Sin soluciones estables, el

potencial del modelo fraccionario para estudiar la bio-

transferencia de calor y optimizar los tratamientos de

hipertermia no puede ser explotado cabalmente. Aunque la

formulación de Caputo es teóricamente superior para ciertos

fenómenos, su aplicación práctica depende directamente de la

robustez del algoritmo numérico.

Los resultados obtenidos de las simulaciones de la

evolución térmica en el centro del tumor, contrastando el

modelo clásico de Pennes (α=1.0) con la formulación

fraccionaria de Caputo (para α<1.0), revelan aspectos

fundamentales sobre la dinámica de la transferencia de calor

en tejidos biológicos. Un objetivo fundamental del modelo es

determinar el perfil térmico en el tumor y comprobar si se

alcanza y mantiene una temperatura terapéutica. En este

sentido, la gráfica muestra que, independientemente del orden

fraccionario, la temperatura en el centro del tumor

inicialmente se eleva por encima del umbral terapéutico de

42∘C, lo que indica que la fuente de calor (generada por las

SPIONs) es lo suficientemente potente para iniciar el proceso

de calentamiento deseado. Sin embargo, la estabilidad y la

evolución a largo plazo de esta temperatura difieren

drásticamente entre los enfoques [21-23].

La discusión más evidente surge al analizar la estabilidad

numérica de las soluciones. Mientras que la curva

correspondiente al modelo clásico de Pennes (α=1.0) exhibe

un comportamiento estable y físicamente plausible, con un

ascenso gradual de la temperatura hacia un plateau, las

simulaciones con la derivada fraccionaria de Caputo (para

α=0.6,0.7,0.8,0.9) dan evidencia de una notable inestabilidad,

caracterizada por picos y caídas abruptas y sin control de la

temperatura después de un periodo de tiempo muy corto. La

inestabilidad es un indicativo de que el método numérico

explícito L1 explicito, no es el adecuado para resolver la

ecuación de Pennes con la derivada de Caputo bajo las

condiciones de discretización utilizadas. Esto genera una

discusión crítica sobre la elección del esquema numérico,

destacando la necesidad de pasos de tiempo

significativamente más pequeños o, preferiblemente, la

implementación de métodos implícitos que son

inherentemente más estables para ecuaciones diferenciales

fraccionarias y sistemas rígidos.

El efecto de usar la derivada fraccionaria de Caputo,

induce la inestabilidad observada cuando α<1.0, lo que impide

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“The Pennes bioheat equation with Caputo fractional derivative applied to the thermal treatment of ductal breast cancer”,

Latin-American Journal of Computing (LAJC), vol. 13, no. 1, 2026.

una comparación directa y significativa del comportamiento

de memoria térmica que el modelo pretende introducir. Si bien

se esperaba que la derivada fraccionaria permitiera modelar

con mayor realismo la evolución de temperatura en tejidos con

propiedades viscoelásticas o heterogéneas, los resultados

actuales no permiten evidenciar este efecto de manera

concluyente debido a la divergencia de las soluciones. Sin

embargo, se puede discutir que, en los breves periodos de

estabilidad inicial, las curvas fraccionarias muestran una

dinámica de calentamiento que podría diferir sutilmente de la

clásica, lo que, de ser resuelto con un método estable, podría

dar lugar a perfiles térmicos y evoluciones temporales más

complejos y potencialmente más precisos para la predicción

del daño tisular.

La discusión se extiende a la capacidad de comprobar si se

alcanza y mantiene una temperatura terapéutica y analizar el

efecto de la perfusión sobre la disipación térmica. Aunque las

temperaturas iniciales superan los 42C, la inestabilidad de las

soluciones fraccionarias impide determinar si estas

temperaturas se mantendrían durante el periodo terapéutico

deseado (30-60 minutos) o cómo la perfusión sanguínea

influiría en la disipación del calor en un modelo con memoria.

El modelo clásico de Pennes, al ser estable, sí permite inferir

que la temperatura terapéutica se mantiene en el centro del

tumor. La falta de estabilidad en el enfoque de Caputo resalta

que, para cumplir los objetivos del modelo en un contexto

fraccionario, es imperativo desarrollar o emplear esquemas

numéricos que garanticen la convergencia y la estabilidad de

las soluciones a lo durante la simulación.

En síntesis, mientras que el modelo clásico de Pennes

demuestra la viabilidad de la hipertermia magnética y permite

evaluar el perfil térmico y la disipación, la introducción de la

derivada fraccionaria de Caputo, aunque teóricamente muy

prometedora para modelar la memoria térmica, se ve limitada

por los desafíos asociados a la estabilidad numérica de los

esquemas explícitos. Superar esta limitación mediante

métodos implícitos es el siguiente paso crucial para validar y

aprovechar el potencial predictivo de los modelos

fraccionarios en la bio-transferencia de calor.

B. Método L1 implícito

Con el objetivo de mejorar la estabilidad numérica del

modelo fraccionario de Pennes, se incorpora la formulación

del método L1 en su versión implícita, en sustitución del

esquema explícito utilizado inicialmente. A diferencia del

método explícito —cuya estabilidad está fuertemente

condicionada por el tamaño del paso temporal y conduce a

divergencias para órdenes fraccionarios α < 1— el método L1

implícito permite resolver el término de memoria fraccionaria

como un sistema acoplado, lo que extiende de manera

significativa la región de estabilidad del algoritmo. Este ajuste

metodológico resulta esencial para obtener perfiles térmicos

físicamente plausibles y evitar oscilaciones numéricas no

deseadas, especialmente en contextos donde la dinámica

térmica está dominada por gradientes pronunciados y efectos

de memoria térmica propios de la formulación fraccionaria de

Caputo.

Adicionalmente, se incorpora un esquema predictor–

corrector adaptado a derivadas fraccionarias como mecanismo

complementario al L1 implícito, con el fin de mejorar la

precisión global del modelo y reducir errores acumulativos

asociados al tratamiento del término histórico. Este método,

basado en la estructura Adams–Bashforth–Moulton

fraccionaria, permite realizar una predicción inicial de la

solución seguida de un paso corrector que refina el valor

calculado, proporcionando un equilibrio adecuado entre

estabilidad numérica y precisión. La combinación del L1

implícito con el método predictor–corrector constituye una

estrategia robusta para el tratamiento de modelos termo-

fraccionarios, ya que permite obtener simulaciones más

consistentes y abre la posibilidad de estudiar escenarios

clínicos con parámetros más realistas sin comprometer la

estabilidad del cálculo.

La ecuación bio-calor fraccionaria que se está resolviendo

(Caputo en el tiempo,



) es:

󰇛󰇜󰇛󰇜󰇛󰇛󰇜󰇜

󰇛󰇜

con condiciones iniciales 󰇛󰇜󰇛󰇜 y condiciones

de frontera ( C en contorno exterior).

- Discretización temporal L1

Se define una malla temporal . Para ,

los pesos L1 se definen como

󰇛󰇜󰨘󰨘

La aproximación L1 para la derivada de Caputo en el

instante  es

󰇛󰇜 

󰇛󰇜



 󰇛󰇜

donde  denota la solución aproximada en . Esta

versión estándar L1 incluye la diferencia de cada intervalo.

(Peso  .)

Para la derivación del sistema lineal por paso temporal, se

sustituye por aproximación L1 en la ecuación y se evalúa el

término de difusión y perfusión en el nivel implícito :

 

󰇛󰇜



 󰇛󰇜

󰇛󰇜



Agrupando los términos dependientes de  se obtiene

una ecuación lineal del tipo  ,

• Coeficiente masa (por punto espacial):

 

󰇛󰇜 

󰇛󰇜

porque .

• Lado derecho (términos conocidos con tiempos 

):

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  

󰇛󰇜󰇭



 󰇛

󰇜󰇮

• Operador espacial (discretizado por diferencias

finitas centradas): con la matriz Laplaciana  tal

que  .

Por lo tanto, la matriz del sistema es:



y resolviendo 

Es válido aclarar que, el único término que involucra

incógnitas en el sumatorio L1 es el término con 󰇛

󰇜 (ya incorporado en ). Los demás sumandos contienen

 con  y por tanto son conocidos al resolver el paso

. Esto es lo que convierte a L1 en implícito respecto a

los términos espaciales y a la contribución principal temporal,

formando un sistema lineal (no no lineal si Q no depende de

).

- Discretización espacial

Se usa diferencias finitas centradas para  en la malla

radial.





 es la matriz Laplaciana con condiciones de contorno

aplicadas (Dirichlet C en frontera).

XI. PREDICTOR–CORRECTOR ADAMS–BASHFORTH–

MOULTON FRACCIONARIO

En este caso, se usa L1 implícito como esquema base de

estabilidad (resolviendo el sistema lineal 󰇝󰇞󰇝󰇞

en cada paso) y emplear un predictor–corrector ABM

fraccionario para obtener un predictor pred

 más preciso del

término fuente no lineal. En presencia de términos lineales

(como en Pennes con Q conocido y constantes), el L1

implícito por sí solo es suficiente y el predictor–corrector

aporta precisión adicional (menor error temporal) y puede

acelerar convergencia en casos no lineales.

A. Forma práctica del predictor–corrector (esquema

Diethelm-type, adaptado):

• Predictor (Adams–Bashforth fraccionario

explícito): calcula una estimación  usando

datos previos  y evaluaciones  del lado

derecho espacial 󰇛󰇜󰇛

󰇜. Fórmula conceptual:



󰇛󰇜

󰇛󰇜



 󰇛󰇜

donde los coeficientes 

󰇛󰇜 son los pesos

adecuados del integrador fraccionario (estos

coeficientes pueden obtenerse por regla de

Newton–Cotes fraccionaria; en implementaciones

práctica se usan tablas o fórmulas estándar.

• Corrector (Adams–Moulton fraccionario

implícito): mejora la predicción resolviendo

implícitamente:

 

󰇛󰇜󰇛󰇜󰇛󰇜



󰇛󰇜



 󰇛󰇜

En la práctica, el término 󰇛󰇜 contiene 

y la perfusión en , por lo que la corrección exige resolver

de nuevo un sistema lineal muy parecido al del L1 implícito.

Por eso una estrategia eficiente es:

1) Construir  para L1 implícito (historia + fuentes).

2) Predictor: evaluar 󰇛󰇜 y construir  por la

fórmula explícita AB (rápida).

3) Corrector: usar  para evaluar 󰇛󰇜 y

resolver el sistema lineal para  con RHS que incluya la

porción correcta de ABM (esto es análogo a resolver

 corr

 donde corr

 incorpora la evaluación en

). Si se desea, iterar predictor–corrector 1–2 veces

(iteración de punto fijo) hasta tolerancia.

Fig. 9. Comportamiento térmico oscilatorio en el centro del tejido para

α = 0.8.

En la Figura 9, la temperatura sube rápidamente hasta unos

42 °C, luego desciende, vuelve a aumentar y finalmente se

estabiliza. Este patrón no monótono es típico de los modelos

fraccionarios, donde la memoria térmica del tejido genera

retrasos y variaciones en la difusión del calor. En el contexto

del tratamiento térmico del cáncer ductal de mama, esto

indica que pueden presentarse fases alternadas de

sobrecalentamiento y enfriamiento parcial, lo que debe

considerarse al diseñar protocolos de hipertermia para evitar

picos de temperatura que puedan dañar el tejido sano.

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“The Pennes bioheat equation with Caputo fractional derivative applied to the thermal treatment of ductal breast cancer”,

Latin-American Journal of Computing (LAJC), vol. 13, no. 1, 2026.

Fig. 10. Evolución de la temperatura en el centro del tejido para distintos

órdenes fraccionarios α.

En la Figura 10, se observa que, cuando α es menor, el tejido

se calienta más lentamente y alcanza temperaturas menores

debido a un efecto de memoria térmica más fuerte. Por el

contrario, valores de α cercanos a 1 reproducen el caso clásico

de Pennes, con una difusión del calor más rápida y eficiente.

Esto es importante para el tratamiento térmico del cáncer

ductal de mama, ya que indica que la memoria térmica

influye en la capacidad del tejido para acumular calor: con α

pequeño, el calentamiento es más lento y podría requerir

mayor tiempo o intensidad para lograr temperaturas

terapéuticas seguras y efectivas en la zona tumoral.

Fig. 11. Perfil radial de temperatura al final del calentamiento para distintos

valores de α.

Cuando α es menor, el gradiente térmico se reduce: la

temperatura máxima en el centro es menor y el calor se

distribuye menos hacia la periferia. En cambio, con α cercano

a 1, la difusión es más eficiente y se alcanzan temperaturas

más altas en todo el dominio, como en el modelo clásico sin

memoria. Esto es importante en el tratamiento térmico del

cáncer ductal de mama, porque la forma en que se distribuye

el calor determina la eficacia y seguridad del procedimiento.

Con α pequeño, el calor se concentra más en la zona central,

favoreciendo una ablación focalizada, mientras que valores

mayores de α generan un calentamiento más amplio y

uniforme.

XII. VALIDACIÓN EXPERIMENTAL O CLÍNICA

Los resultados obtenidos con las derivadas fraccionarias

de Caputo en el modelo de Bio-calor de Pennes y utilizando

L1 implícito, son comparados con trabajos previos como el de

Caizer et al [24], para validar la parte experimental clínica y

con Rahpeima & Lin [25] para validar la parte numérica y

computacional.

A. Análisis y validación con los resultados

experimentales

Correspondencia entre la dinámica térmica del modelo

fraccionario y la hipertermia real

Las curvas térmicas obtenidas con el modelo fraccionario

muestran aumentos, retardos y estabilización de la

temperatura según el valor de α. Esto coincide con lo

observado por Caizer et al. [24], quienes demostraron que el

calentamiento real con nanopartículas no es lineal, sino

progresivo y regulado por la relajación magnética. La

presencia de oscilaciones y memoria térmica para α < 1 es

coherente con el comportamiento superparamagnético, donde

la temperatura se estabiliza alrededor de 42–43 °C, igual que

en los experimentos de Caizer.

B. Efecto del parámetro α (memoria térmica)

Los resultados indican que para α pequeño el

calentamiento es más lento y alcanza temperaturas menores.

Este comportamiento corresponde con los hallazgos

experimentales de Caizer et al., donde el incremento térmico

depende de la respuesta magnética y de la estructura de los

nanobioconjugados. Esto demuestra que el tejido tiene un

comportamiento visco-térmico con retardo, exactamente lo

que el modelo fraccionario representa a través de α.

C. Ritmo de calentamiento frente a los tiempos

experimentales

Caizer et al. mostraron que llegar a ~43 °C depende de la

concentración de nanopartículas: concentraciones altas

calientan rápido y las bajas tardan más. En el modelo, α

cercano a 1 produce calentamiento rápido, mientras que α

pequeño genera un ascenso lento. Esta relación es equivalente:

α alto representa sistemas que calientan eficientemente, y α

bajo imita sistemas con baja potencia térmica. Por tanto, el

modelo fraccionario reproduce correctamente la dependencia

entre concentración y ritmo de calentamiento observada en

laboratorio.

D. Perfil espacial final de temperatura

Los resultados muestran que con α bajo el calor se

concentra en el centro del tumor y que con α≈1 se difunde

más lejos. Esto coincide con Caizer et al., quienes describen

que las nanopartículas calientan principalmente su entorno

cercano y que la propagación del calor depende de

conductividad, tamaño, saturación magnética y distribución

del material. Así, el modelo reproduce fielmente la extensión

térmica real según las características físicas de las partículas.

E. Validación biológica: relación entre temperatura y

muerte celular

Caizer et al. reportan una baja viabilidad celular (<12%)

tras mantener 42.9 °C durante 30 min. Tus simulaciones

muestran que para α≈1 se alcanzan temperaturas

terapéuticas sostenidas y que la zona afectada aumenta según

la difusión térmica. Estas temperaturas coinciden con valores

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que en experimentos reales inducen apoptosis, lo que

confirma que tu modelo predice niveles térmicos clínicamente

efectivos.

F. Relación entre propiedades de las nanopartículas y el

modelo térmico

Las nanopartículas utilizadas por Caizer et al. (Fe₃O₄ con

recubrimiento orgánico, tamaño pequeño y comportamiento

superparamagnético) generan un calentamiento no lineal y

retardado. Esto justifica el uso de un modelo fraccionario, y

tus simulaciones reproducen estos efectos mediante el

parámetro α. Así, el comportamiento numérico es coherente

con la física real del sistema nanoparticulado.

En conjunto, los resultados fraccionarios hallados son

consistentes con los datos experimentales de Caizer et al. El

modelo reproduce tendencias térmicas, espaciales y

biológicas observadas en laboratorio y predice temperaturas

suficientes para inducir muerte celular. Esto respalda la

solidez física y la relevancia clínica de tu enfoque

fraccionario.

G. Evolución temporal de la temperatura

El modelo muestra un comportamiento oscilatorio con

ascensos rápidos, descensos leves y estabilización para α =

0.8, lo que refleja memoria térmica. Rahpeima & Lin [25]

también observaron un ascenso inicial seguido de un pequeño

descenso antes de estabilizarse. Aunque sus temperaturas

máximas son mayores, la dinámica es similar, validando la

capacidad del modelo fraccionario para reproducir el

comportamiento térmico inicial de la hipertermia magnética.

H. Efecto del orden fraccionario α

Los resultados confirman que α pequeño reduce la

temperatura y retrasa el calentamiento, mientras que α≈1

reproduce el caso clásico con mayor difusión térmica. En

Rahpeima & Lin [25], la temperatura final depende de la

eficiencia del transporte térmico y la distribución de

nanopartículas, lo cual corresponde a α alto en tu modelo. El

efecto de α coincide con los patrones térmicos

tridimensionales observados en su estudio.

I. Perfil radial de temperatura

El modelo muestra que al bajar α el calor queda localizado

y el gradiente térmico se atenúa, mientras que α≈1 genera una

distribución más amplia. Rahpeima & Lin reportan que las

zonas de mayor temperatura coinciden con regiones de alta

concentración de MNPs y mayor intensidad de campo

magnético, lo que difunde el calor hacia la periferia. Por tanto,

el comportamiento radial de tu modelo concuerda con las

tendencias físicas del modelo tridimensional.

J. Validación clínica global del modelo

La simulación derivada de la aplicación fraccionaria de

Caputo al modelo de Pennes muestra que con α = 1 se alcanzan

temperaturas superiores a 42 °C, suficientes para hipertermia

terapéutica. Rahpeima & Lin alcanzaron 51.4 °C y

demostraron necrosis tumoral completa tras 30 min. Esta

coincidencia en el efecto clínico—temperaturas capaces de

destruir tejido tumoral—confirma que el modelo fraccionario

reproduce adecuadamente la respuesta térmica observada en

estudios clínicos y numéricos.

XIII. DISCUSIONES

El modelo de Pennes incorpora una fuente de calor

volumétrica (Qmag) que simula la acción de los (SPIONs), y

demuestra que es posible elevar la temperatura del tejido

tumoral a rangos terapéuticos. Las simulaciones de la

ecuación de Pennes clásica (con α=1.0) indican que se pueden

alcanzar y mantener temperaturas superiores a los 42∘C en el

núcleo del tumor, lo que permite evidenciar la viabilidad de la

hipertermia magnética, para este caso particular del cáncer

ductal de seno.

Las Figura 1 y Figura 2 para el caso clásico, muestran que

el modelo es capaz de predecir un perfil térmico donde la

temperatura es más alta en el centro del tumor y disminuye

hacia los bordes, y mantienen por encima del umbral

terapéutico de 42∘C durante el tiempo de simulación (10

minutos o 30 minutos). Esto permite evidenciar el

cumplimiento del objetivo de determinar el perfil térmico y

comprobar el alcance de la temperatura terapéutica.

El modelo de Pennes incorpora explícitamente el término

de perfusión sanguínea (ωb), que actúa como un mecanismo

de disipación de calor. Las simulaciones clásicas, al mostrar

una caída de temperatura hacia los bordes del tumor (donde la

perfusión del tejido sano circundante es mayor o donde el

efecto de la fuente de calor disminuye), muestran evidencia de

que la perfusión es fundamental para limitar la extensión del

calentamiento y proteger además el tejido sano circundante.

Aunque se alcanzan temperaturas terapéuticas, el análisis

del daño térmico acumulado (Ω) es fundamental. El mapa de

daño térmico acumulado (Figura 5) reveló que, a pesar de las

altas temperaturas, el umbral de necrosis (Ω≥1 o log10(Ω)≥0)

no se alcanzó plenamente en el tiempo de simulación dado (30

minutos). Esto subraya que la efectividad de la hipertermia

para inducir necrosis no solo depende de la temperatura

máxima, sino también del tiempo de exposición y la

acumulación del daño.

Por otro lado, la implementación del método L1 explicito,

mostró inestabilidad desde el punto de vista numérico y

computacional, mientras que la implementación del método

L1 implícito mejoró los resultados.

El análisis numérico de la ecuación bio-calor de Pennes

con derivada fraccionaria de Caputo, resuelto mediante el

esquema L1 implícito, permitió caracterizar la dinámica

térmica en tejido mamario durante un tratamiento de

hipertermia dirigido al cáncer ductal de mama. Los resultados

obtenidos muestran comportamientos temporales y espaciales

consistentes con la teoría de difusión fraccionaria y, al mismo

tiempo, comparables con estudios experimentales y

simulaciones tridimensionales previamente reportadas. Esta

concordancia fortalece la validez física del modelo y su

relevancia para aplicaciones clínicas.

En primer lugar, según la Figura 9, el comportamiento

térmico oscilatorio observado en la evolución temporal de la

temperatura para α = 0.8 refleja el papel dominante de la

memoria térmica en modelos fraccionarios, la cual genera

retardos y variaciones no monótonas en el transporte de calor.

Este patrón es coherente con la respuesta inicial descrita por

ISSN:1390-9266 e-ISSN:1390-9134 LAJC 2026 66

DOI:

LATIN-AMERICAN JOURNAL OF COMPUTING (LAJC), Vol XIII, Issue 1, January 2026

https://doi.org/10.33333/lajc.vol13n1.05

E. Vargas

“The Pennes bioheat equation with Caputo fractional derivative applied to the thermal treatment of ductal breast cancer”,

Latin-American Journal of Computing (LAJC), vol. 13, no. 1, 2026.

Rahpeima & Lin [25], quienes reportan un ascenso térmico

rápido seguido de un descenso moderado antes de la

estabilización debido al equilibrio entre generación de calor

por nanopartículas y disipación por perfusión y conducción.

Aunque los valores máximos alcanzados difieren —alrededor

de 42 °C en nuestro modelo fraccionario y 51.4 °C en la

simulación tridimensional clásica—, la dinámica cualitativa

es consistente, lo cual valida que la formulación fraccionaria

generaliza adecuadamente el comportamiento bio-térmico

observado en modelos realistas de hipertermia magnética.

Asimismo, con base en las Figuras 10 y 11, el análisis de

la influencia del orden fraccionario muestra que, al disminuir

α, la temperatura crece más lentamente y alcanza valores

menores debido a un efecto de memoria térmica más

pronunciado. Esta tendencia coincide con los principios

físicos descritos en Caizer et al. [24], donde la capacidad del

tejido para absorber y retener calor depende del nivel de

energía disipada por nanopartículas magnéticas, así como con

los resultados de Rahpeima & Lin [25], donde el

calentamiento depende de la eficiencia con que se difunde y

transfiere el calor en el tumor. En este contexto, α→1

reproduce el caso clásico de Pennes con una difusión más

eficiente, mientras que α menores representan tejidos con

mayor retardo en la transferencia térmica. Este

comportamiento fortalece la idea de que los modelos

fraccionarios permiten incorporar propiedades fisiológicas

complejas, como la heterogeneidad térmica y el efecto

memoria.

El perfil espacial de temperatura obtenido también se

alinea con las tendencias reportadas en literatura. Se observó

que para valores pequeños de α el calor se concentra cerca del

centro tumoral, generando gradientes más abruptos y una

ablación potencialmente más focalizada. Por el contrario, α

cercano a 1 conduce a una difusión térmica más amplia,

similar a la distribución radial reportada por Rahpeima & Lin

(2022), donde el máximo térmico se localiza en zonas de

mayor concentración de nanopartículas y en regiones

coincidentes con el pico del campo magnético aplicado.

Aunque su modelo no incorpora memoria térmica, la

comparación pone en evidencia que el orden fraccionario

actúa como un modulador que ajusta la extensión de la

difusión térmica, generando escenarios que van desde la

ablación focalizada (α bajo) hasta el calentamiento más

uniforme (α alto). Esta capacidad adaptativa es un aporte

importante del presente estudio.

Finalmente, la consistencia general entre los resultados

obtenidos y los reportados por Caizer et al. y Rahpeima & Lin

permite afirmar que el modelo fraccionario de Pennes resuelto

con L1 implícito ofrece una representación físicamente

plausible del proceso de hipertermia magnética, incluso

cuando introduce elementos adicionales como la memoria

térmica. La capacidad del modelo para reproducir dinámicas

térmicas comparables con estudios experimentales y

simulaciones avanzadas respalda su utilidad como

herramienta de predicción y optimización terapéutica.

Además, la flexibilidad del parámetro α abre la posibilidad de

ajustar el modelo para representar distintos tipos de tejidos o

escenarios clínicos, lo cual amplía el potencial de

personalización del tratamiento térmico en cáncer ductal de

mama.

XIV. CONCLUSIONES

La incorporación de la derivada fraccionaria de Caputo en

la ecuación de Pennes permitió modelar con mayor realismo

la transferencia de calor en un tumor ductal mamario, al

capturar efectos de memoria térmica y respuesta retardada que

no pueden representarse con el modelo clásico. Esto convierte

al enfoque fraccionario en una herramienta adecuada para

estudiar tejidos biológicos heterogéneos sometidos a

hipertermia magnética.

Los resultados numéricos obtenidos con el método L1

implícito demostraron estabilidad, coherencia física y

consistencia con la literatura, permiten analizar la influencia

del orden fraccionario α sobre la dinámica térmica. El

parámetro α se confirmó como un modulador clave del

transporte de calor: valores cercanos a 1 reproducen el modelo

clásico con rápida difusión, mientras que α menores generan

calentamiento lento y localizado, lo que refleja un

comportamiento visco-térmico del tejido.

Las simulaciones espaciales y temporales mostraron que

solo el caso α = 1.0 permitió alcanzar los 42 °C necesarios

para la hipertermia terapéutica, mientras que los modelos

fraccionarios (α < 1) exhibieron incrementos más lentos y

temperaturas inferiores. Esto sugiere que la presencia de

memoria térmica puede limitar la propagación del calor,

siendo un fenómeno relevante para la planificación de

tratamientos térmicos en tumores con características

viscoelásticas marcadas.

Las validaciones realizadas con los datos experimentales

de Caizer et al. evidenciaron una concordancia directa entre la

dinámica térmica simulada y el comportamiento real del

calentamiento mediado por nanopartículas, tanto en el ritmo

de ascenso térmico como en la estabilización alrededor de los

42–43 °C. La relación entre α y la velocidad de calentamiento

reprodujo el efecto de la concentración nanoparticulada

observado en laboratorio, confirmando la fidelidad del modelo

fraccionario.

La comparación con el modelo tridimensional de

Rahpeima & Lin confirmó la capacidad del enfoque

fraccionario para reproducir comportamientos térmicos

clínicamente relevantes, como ascensos iniciales rápidos,

oscilaciones transitorias, estabilización térmica y patrones

radiales dependientes de la distribución de nanopartículas.

Aunque las temperaturas máximas difieren, la dinámica

cualitativa es equivalente y respalda la pertinencia física del

modelo usado.

La inestabilidad severa observada con el método L1

explícito mostró que los esquemas numéricos explícitos no

son adecuados para resolver ecuaciones fraccionarias de

difusión térmica, ya que introducen errores que distorsionan

completamente la física del problema. La estabilidad

numérica lograda con el método L1 implícito confirma que los

esquemas implícitos son indispensables para obtener

simulaciones confiables en contextos fraccionarios.

En conjunto, el modelo fraccionario basado en Caputo y

resuelto con L1 implícito se validó tanto numéricamente como

experimentalmente, lo que demuestra ser capaz de reproducir

fenómenos térmicos observados en hipertermia magnética real

y predice temperaturas compatibles con la inducción de

apoptosis tumoral. Esto respalda la utilidad del enfoque

fraccionario como herramienta para la simulación, análisis y

ISSN:1390-9266 e-ISSN:1390-9134 LAJC 2026 67

DOI:

LATIN-AMERICAN JOURNAL OF COMPUTING (LAJC), Vol XIII, Issue 1, January 2026

https://doi.org/10.33333/lajc.vol13n1.05

LATIN-AMERICAN JOURNAL OF COMPUTING (LAJC), Vol XIII, Issue 1, January - June 2026

eventual optimización clínica de tratamientos térmicos contra

el cáncer de mama ductal.

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Agradecimientos a Doney Andrés Peña Julio, estudiante de

Ingeniería de Sistemas de la Universitaria Americana.

Barranquilla Colombia

ISSN:1390-9266 e-ISSN:1390-9134 LAJC 2026

LATIN-AMERICAN JOURNAL OF COMPUTING (LAJC), Vol XIII, Issue 1, January 2026

AUTHORS

Licenciado en Matemática y Física, Magíster en Física Aplicada y

Candidato a Doctor en Ciencias Físicas. Cuenta con más de 20 años

de experiencia docente en los niveles de Bachillerato, Educación

Tecnológica y Educación Universitaria, además de amplia trayectoria

en la asesoría metodológica de investigaciones de pregrado y

posgrado. Ha participado como ponente en eventos cientíﬁcos

nacionales e internacionales. Actualmente desarrolla investigación en

oncología matemática y en el diseño de nanoestructuras con ﬁnes

teranósticos. Es docente de la Universidad del Atlántico, donde trabaja

con la Facultad de Educación en los programas de Licenciatura en

Matemáticas y Ciencias Naturales, y de la Corporación Universitaria

Americana en Barranquilla, Colombia, adscrito al Departamento de

Ciencias Básicas.

Eder Linares Vargas

E. Vargas,

“The Pennes bioheat equation with Caputo fractional derivative applied

to the thermal treatment of ductal breast cancer”,

Latin-American Journal of Computing (LAJC), vol. 13, no. 1, 2026.